Ni (nor, not even) often translates into English "or" in negative sentences:

A esta hora no hay taxis ni buses.
Ni la mejor sociedad es perfecta.
There are no taxis or buses at this time.
Not even the best society is perfect.

Ni... ni... is the Spanish equivalent for English "neither...nor...". Note the verb in plural when there's more than one subject, as well as the usual need of a negative word before the verb:

No tengo ni frío ni calor.
Ni Juan ni Pedro tienen hambre.
I'm neither cold nor hot.
Neither Juan nor Pedro is hungry.

In negative phrases, English "either...or..." translates into ni:
Está aquí sin familia ni amigos.He's here without either family or friends.

When no negative particles are involved, "either...or" translates into o:
Podemos comer carne o pollo.We can eat either meat or chicken.

Tampoco (neither, not...either) is used in any negative phrases as the opposite of también (also):

Quiere café y yo también.
No quiere café. Yo tampoco.
No cantamos esta noche tampoco.
El jefe tampoco sabe la respuesta.
She wants some coffee and so do I.
She doesn't want any coffee. Neither do I.
We are not singing tonight either.
The boss does not know the answer either.
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Ejemplo: Acepta el problema y la solución también. → No acepta ni el problema ni la solución tampoco.

1. El doctor y su esposa tienen hambre. → Ni el doctor ni su esposa tienen hambre.
2. Siempre piden carne o pescado. → Nunca piden ni carne ni pescado.
3. Hoy quieren sopa y ensalada también. → Hoy no quieren ni sopa ni ensalada tampoco.
4. Tienen hambre y sueño también. → No tienen ni hambre ni sueño tampoco.
5. Van a almorzar y a hacer siesta. → No van a almorzar ni a hacer siesta.
6. Ella y yo estamos aquí también. → Ni ella ni yo estamos aquí tampoco.
7. Tiene que comer y yo también. → No tiene que comer ni yo tampoco.
8. Ella y yo pedimos postre siempre. → Ni ella ni yo pedimos postre nunca.